题目

F是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点,A,B是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为1/2.点C在X轴上
BC⊥BF,B,C,F三点确定的圆M恰好与直线l1:x+根号3*y+3=0相切.
1.求椭圆的方程
2.过点A的直线l2与圆M交于P,Q两点,且向量MP*向量MQ=-2,求直线l2的方程.

提问时间：2020-08-05

答案

你自己修改格式 （1）因为椭圆的离心率为12,所以ca=12,即a=2c,b=3c
所以A（-2c,0）,B(0,3c),F(-c,0)．kBF=3,故kBC=-33,
所以BC得方程为y=-33x+3c
令y=0,得x=3c,即C（3c,0）,所以圆M的半径为12FC=2c,圆心M（c,0）
因为圆M恰好与直线l1：x+3y+3=0相切,
所以|c+3|2=2c,∴c=1,∴a=2,b=3
故所求的椭圆方程为x24+y23=1
（2）因为MP→•MQ→=|MP→||MQ→|cos∠PMQ=2×2cos∠PMQ=-2,
所以∠PMQ=120°．所以M到直线l2的距离等于1
依题意,直线l2的斜率存在,设直线l2：y=k（x+2）,即kx-y+2k=0
所以|k+2k|k2+1=1,解得k=±24,
故所求的直线l2的方程为y=±24(x+2)