题目

函数f（x）=2asin²x-2

3

asinxcosx+a+b，x∈[0，

π

2

]，值域为[-5，1]，求a，b的值．

提问时间：2020-08-05

答案

∵函数f（x）=2asin²x-2

3

asinxcosx+a+b=a（1-cos2x）-

3

asin2x+a+b=-2asin（2x+

π

6

）+2a+b，
又x∈[0，

π

2

]，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1．
当a＞0时，有

3a+b＝1 b＝−5

，解得 a=2，b=-5．
当a＜0时，有

b＝1 3a+b＝−5

，解得 a=-2，b=1．
综上可得，当a＞0时，a=2，b=-5； 当a＜0时，a=-2，b=1．

利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为-2asin（2x+

π

6

）+2a+b，根据x∈[0，

π

2

]，求得-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1．分a＞0和a＜0两种情况，根据值域为[-5，1]，分别求得a，b的值．

本题考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．