题目

求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a²+b²+c²=ab+ac+bc．（这里a，b，c是△ABC的三条边）

提问时间：2020-08-04

答案

证明：先证明充分性，
∵△ABC是等边三角形
∴a=b=c，
∴ab+ac+bc=a²+b²+c²
∴充分性成立，
再证明必要性
∵a²+b²+c²=ab+ac+bc，两边都乘以2，得
2a²+2b²+2c²═-（2ab+2ac+2bc），
∴（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0
∴a=b=c，
△ABC是等边三角形．
必要性成立，
∴原命题成立．