题目

三个整数中任意两个的乘积被另一个除的余数均为1,那么这三个数的倒数之和减去这三个数乘积的倒数等于?

提问时间：2020-08-04

答案

设三个数是m,n,p则有
p|mn-1
m|np-1
n|mp-1
所以mnp|(mn-1)(np-1)(mp-1)=mnp(mnp-m-n-p)+mn+np+mn-1
所以mnp|mn+np+mn-1
mn+np+mp-1-2mnp=mn(1-p)+p(m+n-mn)-1<0（因为m,n,p都不能为1,所以,m+n-mn<0,1-p<0）
所以,mn+np+mp-1<2mnp
而mn+np+mp-1>0=0mnp
但：mn+np+mp-1能被mnp整除,所以,mn+np+mp-1=mnp
所以：1/m+1/p+1/n-1/mnp=(mn+np+mp-1)/mnp=mnp/mnp=1
“|”表示整除,比如：2|4