题目

已知x,y是实数,且x^2+y^2-4x-6y+12=0,求：x/y的最值.（2）x^2+y^2的最值.（3）x-y的最值

提问时间：2020-08-04

答案

X²-4X+4+Y²-6Y+9-1=0 => (X-2)²+(Y-3)²=1
该曲线为圆心C在(2,3)的半径为1的圆
1）x/y的值为原点O到圆上的点的连线斜率y/x的倒数
作图可知,过原点作圆的切线时,两条切线的切点分别对应y/x的最大值和最小值
设两条切线分别为OE, OD,且OE斜率小于OD
OC=√(2)^2+(3)^2=√13,CD=CE=r=1,∴OD=OE=√OC^2-CD^2=√(13-1)=2√3
设OC与切线夹角为θ,则tanθ=CD/OD=1/(2√3)=√3/6
设直线OC,OD,OE与x轴夹角为α,β,γ,则tanα=3/2
tanβ=tan(α+θ)=(tanα+tanθ)/(1-tanαtanθ)=(3/2+√3/6)/(1-3/2*√3/6)
tanγ=tan(α-θ)=(tanα-tanθ)/(1+tanαtanθ)=(3/2-√3/6)/(1+3/2*√3/6)
∴x/y的最大值为1/tanγ=(1+3/2*√3/6)/(3/2-√3/6)=(3+√3)/4
x/y的最小值为1/tanβ=(1-3/2*√3/6)/(3/2+√3/6)=(3-√3)/4
2）x^2+y^2为圆C上的点到原点O 的距离
由作图可知,x^2+y^2的最值均在直线OC上
且最大值为OC+r=√13+1；最小值为OC-r=√13-1
3）x-y