题目

已知t为常数,函数y=|x²-2x-t|在区间【0,3】上的最大值为3,则t=________

提问时间：2020-08-04

答案

答：
y=|x²-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为3
因为：f(x)=x²-2x-t=(x-1)²-1-t
所以：抛物线f(x)开口向上,对称轴x=1
因为：区间端点3到对称轴的距离为2,区间端点0到对称轴的距离为1
f(3)=9-6-t=3-t
f(0)=-t
f(1)=-1-t
f(3)>f(0)>f(1)
并且：
f(1)+1=f(0)
f(0)+3=f(3)
所以：y=|x²-2x-t|只可能在x=3或者x=1处取得
y(1)=|-1-t|=3,解得：t=-4或者t=2
此时：y(3)=|3-t|最大值为7或者1
所以：x=1处取得最大值3不符合.
y(3)=|3-t|=3,解得：t=0或者t=6
此时：y(1)=|-1-t|=1或者-7
显然,只能t=0符合题意.
综上所述,t=0