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题目
正方形ABCD中,一条边AB在直线y=x+4上,另外两顶点C、D在抛物线y2=x上,求正方形的面积.

提问时间:2020-08-04

答案
设CD所在直线的方程为y=x+t,
y=x+t
y2=x
消去y得,x2+(2t-1)x+t2=0,
∴|CD|=
2[(1-2t)2-4t2]
=
2(1-4t)

又直线AB与CD间距离为|AD|=
|t-4|
2

∵|AD|=|CD|,∴t=-2或-6;
从而边长为3
2
或5
2

面积S1=(3
2
2=18,
S2=(5
2
2=50.
先设CD的方程,然后与抛物线联立可消去y得到关于x的一元二次方程,即可表示出|CD|,再由|AD|=|CD|可求出t的值,从而可求出正方形的边长得到面积.

抛物线的应用;点到直线的距离公式.

本题主要考查直线与抛物线的综合问题.直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点题型,每年必考,要强化复习.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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