题目

设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的公比q；
（Ⅱ）求证：a₃，a₉，a₆成等差数列；
（Ⅲ）当a_m，a_s，a_t（m，s，t∈[1，10]，m，s，t互不相等）成等差数列时，求m+s+t的值．

提问时间：2020-08-03

答案

（Ⅰ）当q=1时，S₃=3a₁，S₉=9a₁，S₆=6a₁，
∵2S₉≠S₃+S₆，∴S₃，S₉，S₆不成等差数列，与已知矛盾，
∴q≠1．（2分）
由2S₉=S₃+S₆得：2•

a1(1−q9)

1−q

＝

a1(1−q3)

1−q

+

a1(1−q6)

1−q

，（4分）
即2（1-q⁹）=（1-q³）+（1-q⁶）⇒2q⁶-q³-1=0，
∴q3＝−

1

2

⇒q＝−

3	1 2

，q³=1⇒q=1（舍去），∴q＝−

3 4

2

（6分）
（Ⅱ）∵2a₉-a₃-a₆=2a₁q⁸-a₁q²-a₁q⁵=a₁q²（2q⁶-1-q³）=0，
∴2a₉=a₃+a₆，∴a₃，a₉，a₆成等差数列．（9分）
（Ⅲ）S₃，S₉，S₆成等差数列⇔2q⁶-q³-1=0⇔2q⁶=q³+1⇔2a₁q⁶=a₁q³+a₁⇔2a₇=a₄+a₁，
∴a₁，a₇，a₄成等差数列或a₄，a₇，a₁成等差数列，则m+s+t=12，（11分）
同理：a₂，a₈，a₅成等差数列或a₅，a₈，a₂成等差数列，则m+s+t=15，
a₃，a₉，a₆成等差数列或a₆，a₉，a₃成等差数列，则m+s+t=18，
a₄，a₁₀，a₇成等差数列或a₇，a₁₀，a₄成等差数列，则m+s+t=21，
∴m+s+t的值为12，15，18，21．（15分）

（Ⅰ）由题意设出等比数列的前n项和公式，由S₃，S₉，S₆成等差数列建立方程求q即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）给出a₃，a₉，a₆的表达式，验证是否构成等差数列即可；
（Ⅲ）a_m，a_s，a_t（m，s，t∈[1，10]，m，s，t互不相等）成等差数列时，由等差数列的性质构建方程，讨论既得．

本题考点：等比关系的确定；等差数列的性质；等比数列的性质．

考点点评：本题考查等差与等比数列的综合运用，用到了分类讨论的思想，综合性较强．本题解题时容易因为讨论不全出错．