题目

已知方程x^2+y^2-2x-4y+m=0（谢谢大家啦）
已知方程x^2+y^2-2x-4y+m=0：
（1）此方程表示圆,求m的取值范围．
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交与M,N两点,且OM垂直ON（O为坐标原点）,求m的值．
(3)在 (2) 的条件下,求以 MN为直径圆的方程

提问时间：2020-08-03

答案

1、
(x-1)²+(y-2)²=-m+1+4
圆则r²=-m+4+1>0
m<5
2、
x=-2y+4
代入
(-2y+3)²+(y-2)²=-m+5
5y²-16y+m+8=0
y1+y2=16/5
y1y2=(m+8)/5
x1x2=(-2y1+4)(-2y2+4)
=4y1y2-8(y1+y2)+16
=4(m+8)/5-128/5+16
=(4m-16)/5
OM⊥ON
OM斜率y1/x1,ON 是y2/x2
所以(y1/x1)(y2/x2)=-1
x1x2+y1y2=0
所以(5m-8)/5=0
m=8/5
3、
x1+x2=(-2y1+4)+(-2y2+4)
=-2(y1+y2)+8
=8/5
y1+y2=16/5
所以MN中点[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2],即(4/5,8/5)
y1+y2=16/5
y1y2=(m+8)/5=48/25
所以(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=64/25
(x1-x2)²=[(-2y1+4)-(-2y2+4)]=4(y1-y2)²=256/25
所以MN²=(x1-x2)²+(y1+y2)²=64/5
MN是直径
所以r²=MN²/4=16/5
所以是(x-4/5)²+(y-8/5)²=16/5