题目

设f(x)=(1/2)x^2+2ax h(x)=e^x+ax-1,若当x≥2时,不等式f(x)≤h(x)恒成立,求实数a的取值范围.
设f(x)=(1/2)x^2+2ax h(x)=e^x+ax-1,若当x≥2时,不等式f(x)≤h(x)恒成立,求实数a的取值范围.
参变分离,把x放到一边去,组成一个新的函数,然后求导.
但是求完导以后还是个超越的,求不出极值点.
老师说用什么整体代换,但是我还不太懂,
还说可以求二次导,反正能给出一种方法就行了~可以简写的.

提问时间：2020-08-03

答案

令g(x)=h(x)-f(x)=e^x+ax-1-(1/2)x^2-2ax=e^x-(1/2)x^2-ax-1
则 g`(x)=e^x-x-a （可见当x很小或者很大时导函数均为正）
当 x≥2时 g(x)≥0恒成立 有两种情况
（1）g(2)≥0 且 g`(2)≥0
得 e^2-(1/2)2^2-2a-1≥0 且 e^2-2-a≥0
a≤(e^2-3)/2 且 a≤e^2-2
即：a≤(e^2-3)/2
（2）g(2)≥0 且 g`(2)＜0 可见在(2,+无穷)上 g(x) 存在极小值点,
不妨设设g`(m)=0 ,此时若要求极小值点g(m)≥0就能满足题意,有：
e^2-(1/2)2^2-2a-1≥0 ①
e^2-2-a＜0 ②
g(m)≥0 ③
由①得：a≤(e^2-3)/2 ④
由②得：a＞e^2-2 ⑤
④、⑤没有公共部分,
故(2)解集为 空
综上：a≤(e^2-3)/2