题目

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD．

（1）求证：∠CDE=2∠B；
（2）若BD：AB=

3

：2，求⊙O的半径及DF的长．

提问时间：2020-08-03

答案

（1）证明：连接OD．
∵直线CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，∠CDO=90°，∠CDE+∠ODE=90°．
又∵DF⊥AB，∴∠DEO=∠DEC=90°．
∴∠EOD+∠ODE=90°，
∴∠CDE=∠EOD．                      
又∵∠EOD=2∠B，
∴∠CDE=2∠B．                
（2） 连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．            
∵BD：AB=

3

：2，
∴在Rt△ADB中cosB=

BD

AB

=

3

2

，
∴∠B=30°．            
∴∠AOD=2∠B=60°．
又∵∠CDO=90°，
∴∠C=30°．               
在Rt△CDO中，CD=10，
∴OD=10tan30°=

10

3

3

，
即⊙O的半径为

10

3

3

．         
在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°，
∴DE=CDsin30°=5．     
∵DF⊥AB于点E，
∴DE=EF=

1

2

DF．
∴DF=2DE=10．

（1）连接OD，根据弦切角定理得∠CDE=∠EOD，再由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠CDE=2∠B；（2）连接AD，根据三角函数，求得∠B=30°，则∠EOD=60°，推得∠C=30°，根据∠C的正切值，求出圆的半径，再在Rt△CDE中，利用∠C的正弦值，求得DE，从而得出DF的长．

本题考点：切线的性质；垂径定理；解直角三角形．

考点点评：本题考查的是切割线定理，切线的性质定理，勾股定理．