题目
已知a为实数,x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,求b的取值范围.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,求b的取值范围.
提问时间:2020-08-03
答案
(Ⅰ)∵函数f(x)=alnx+x2-12x,
∴f′(x)=
+2x-12,
∵x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点,
∴f′(4)=0,得
+8-12=0,得a=16;
(Ⅱ)当a=16时,f(x)=16lnx+x2-12x,f′(x)=
+2x-12=
,
当f′(x)>0时,可得x>4或者0<x<2;
当f′(x)<0时,可得2<x<4;
∴函数f(x)的单调增区间为:(4,+∞),(0,2);
函数f(x)的单调减区间为:(2,4);
(Ⅲ)直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,f(4)=16ln4-32,f(2)=16ln2-20,
由(Ⅱ)知f(x)在x=2出去极大值,在x=4出取极小值,
画出f(x)的草图:
直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,
∴直线y=b必须在直线l和直线n之间,
∴f(4)<b<f(2),
即161n4-32<b<16ln2-20,;
∴f′(x)=
a |
x |
∵x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点,
∴f′(4)=0,得
a |
4 |
(Ⅱ)当a=16时,f(x)=16lnx+x2-12x,f′(x)=
16 |
x |
2(x−2)(x−4) |
x |
当f′(x)>0时,可得x>4或者0<x<2;
当f′(x)<0时,可得2<x<4;
∴函数f(x)的单调增区间为:(4,+∞),(0,2);
函数f(x)的单调减区间为:(2,4);
(Ⅲ)直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,f(4)=16ln4-32,f(2)=16ln2-20,
由(Ⅱ)知f(x)在x=2出去极大值,在x=4出取极小值,
画出f(x)的草图:
直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,
∴直线y=b必须在直线l和直线n之间,
∴f(4)<b<f(2),
即161n4-32<b<16ln2-20,;
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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