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题目
写出命题“如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题,并证明这个命题是真命题.

提问时间:2020-08-03

答案
逆命题是:如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是45°,那么这个三角是直角三角形.
已知,如图,△ABC中,BE是∠ABC的角平分线,交AC于E,AD是∠CAB的角平分线,交BC于D,BE和AD相交于O点,且∠EOA=45°.
求证:△ABC是直角三角形
证明:∵BE是∠ABC的角平分线,AD是∠CAB的角平分线,
∴∠OAB=
1
2
∠CAB,∠OBA=
1
2
∠CBA,
∴∠OAB+∠OBA=
1
2
(∠CAB+∠CBA),
∴180°-∠AOB=
1
2
(180°-∠C),
∴∠AOB=90°+
1
2
∠C
又∵∠EOA=45°,
∴∠AOB=135°=90°+
1
2
∠C,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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