题目

双曲线x2/a2-y2/b2=1的离心率e=2根号3/3,过a(a.0),b(0,-b)的直线到原点的距离是根号3/2,求双曲线的方程

提问时间：2020-08-03

答案

e＝c/a＝√（a^2＋b^2）/a＝2√3/3,∴（a^2＋b^2）/a^2＝4/3,∴1＋b^2/a^2＝4/3,
∴b^2/a^2＝1/3,∴a^2＝3b^2.
∵A（a,0）、B（0,－b）,∴AO⊥BO、且OA＝a、OB＝b、AB＝√（a^2＋b^2）.
在直角三角形中,显然有弦乘弦高＝勾股相乘,∴（√3/2）√（a^2＋b^2）＝ab,
∴（3/4）（a^2＋b^2）＝a^2b^2.将a^2＝3b^2代入其中,得：
（3/4）（3b^2＋b^2）＝3b^4,∴b^2＝1,进而得：a^2＝3.
∴满足条件的双曲线方程是x^2/3－y^2＝1.