题目

已知点（1,三分之一）是函数f (x)=a的x次方 （a>0 且a≠1） 的 图像上的一点
已知点（1,三分之一）是函数f
(x)=a的x次方 （a>0 且a≠1） 的
图像上的一点,等比数列｛an｝的
前n项和为f(n)-C,数列｛bn｝
（bn>0）的首项为C,且其前n项
和Sn满足Sn-Sn-1=根号下Sn+根
号下Sn-1 （n≥2）（注：里面的
都是n-1不是Sn-1）
1.求数列｛bn｝和｛an｝的通项公
式
2.若数列｛1/bnbn+1}的前n
项和为Tn（注：里面的是n+1不是
bn-1）,问Tn＞1000／2012的最
小整数n是多少?

提问时间：2020-08-03

答案

1、设{a(n)}的前n项和为A(n).
点(1,1/3)过 f(x)=a^x,则 1/3=a
所以 f(x)=(1/3)^x
而{a(n)}的前n项和为 A(n)=f(n)-C=[(1/3)^n]-C
所以
a(n)=[f(n)-C]-[f(n-1)-C]
=(1/3)^n-(1/3)^(n-1)
=(1/3-1)[(1/3)^(n-1)]
=(-2/3)[(1/3)^(n-1)]
由于{a(n)}为等比数列,可见其首项为-2/3、公比为1/3
所以,其前n项和应为
A(n)=(-2/3)[1-(1/3)^n]/(1-1/3)=[(1/3)^n]-1
故C=1.
对于数列{b(n)},b(1)=C=1
当n≥2时,有
S(n)-S(n-1)=√S(n)+√S(n-1)
两边同提取 [√S(n)+√S(n-1)] 约去可得
√S(n)-√S(n-1)=1
可见 {√S(n)} 是以 S(1)=b(1)=1 为首项、1为公差的等差数列,
故 √S(n)=n,S(n)=n²
所以
b(n)=S(n)-S(n-1)
=n²-(n-1)²
=2n-1.
2、
1/[b(n)b(n+1)]
=1/[(2n-1)(2n+1)]
=(1/2)/(2n-1)-1/(2n+1)
所以
T(n)=(1/2)[1-1/3+1/3-1/5+…+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=(1/2)[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)
当T(n)＞1000/2012时,应有
n/(2n+1)＞1000/2012
解得 n＞250/3=83.33…,故n=84