题目

已知向量

a

=（1-tanx，1），

b

=（1+sin2x+cos2x，-3），记f（x）=

a

•

b

（1）求f（x）的值域及最小正周期；
（2）若f(

α

2

)−f(

α

2

+

π

4

)＝

6

，其中α∈(0， 

π

2

)，求角α．

提问时间：2020-08-03

答案

（1）根据条件可知：f（x）=（1-tanx）•（1+sin2x+cos2x）-3=cosx−sinxcosx(2cos2x+2sinxcosx)−3=2（cos2x-sin2x）-3=2cos2x-3因为f（x）的定义域为{x|x≠kπ+π2， k∈Z}，∴-1<cos2x≤1∴-5<2cos2...

（1）先利用向量的数量积的坐标运算求得函数的解析式，并化简，即可求得其值域及其最小正周期．
（2）由f(

α

2

)−f(

α

2

+

π

4

)＝

6

，利用两角和的正弦公式化简，得sin(α+

π

4

)＝

3

2

，结合α的范围，解得角α的值．

本题考点：余弦函数的单调性；平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法．

考点点评：本题考查余弦函数的单调性，向量的数量积运算，以及三角函数的化简求值，在求函数的值域时注意函数的定义域，是个中档题．