题目

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像经过坐标原点,满足f（1+x）=f（1-x）且方程f（x）=x有两个相等的实数根
1.求该二次函数的解析式
2.求上述二次函数在区间[-1,2]上的最大值和最小值

提问时间：2020-08-03

答案

∵f(x)=ax2+bx+c的图像经过坐标原点
∴0 = 0+0+c,∴c=0
∴f(x)=ax2+bx
∵f（1+x）=f（1-x）
∴a(1+x)^2+b(1+x)=a(1-x)^2+b(1-x),∴4ax-2bx=0,∴b=-2a
∴f(x)=ax^2-2ax
∵f（x）=x有两个相等的实数根
∴ax^2-2ax=x,∴ax^2-(2a+1)x = 0,∴ax{x-(2a+1)/a}=0
x1=0,x2=(2a+1)/a=0
∴2a+1=0
a = -1/2
∴f(x) = -1/2x^2+x
f(x)开口向上,对称轴x=-1/(2*(-1/2)) = 1
在区间[-1,2],极大值就是最大值：
∴最大值=f(1)=-1/2+1=1/2
∵x1=-1比x2=2距离对称轴x=1更远
∴最小值=f(-1)=-1/2-1=-3/2