题目

已知椭圆x^2/2+y^2/3=1,确定m取值范围,使椭圆C上又不同的两点关于直线y=4x+m对称

提问时间：2020-08-02

答案

设C上两点分别为P1（x1,y1)、P2(x2,y2),依题意则P1、P2连线L2必垂直于直线L1：y=4x+m且P1、P2的中点落在直线L1上
设L2为y=-0.25x+a 代入到椭圆C方程得
x^2/2+(-0.25x+a)^2/3=1
=> 25x^2-8ax+16a^2-48=0 .（1）
有解条件：64a^2-4*25*(16a^2-48)>=0
或 -5√2/4≤a≤ 5√2/4 .（2）
又在（1）中由韦达定理 x1+x2=8a/25
y1+y2=-0.25*8a/25+2a=48a/25
中点坐标(4a/25,24a/25)在L2上
所以 24a/25=4*4a/25+m
m=8a/25 代入（2）中
-2√2/5≤m≤ 2√2/5