题目

方程

1−x2

=kx+2有唯一解，则实数k的取值范围是（　　）
A. k=±

3

B. k∈（-2，2）
C. k＜-2或k＞2
D. k＜-2或k＞2或k=±

3

提问时间：2020-08-02

答案

设y₁=

1−x2

，
表示以原点为圆心、半径为1的圆的上半圆（含端点A、B）
设y₂=kx+2，表示经过定点C（0，2）且斜率为k的一条直线
当直线y₂=kx+2与半圆y₁=

1−x2

相切时，原方程有唯一解
此时原点到直线的距离等于1，得

|2|

1+k2

＝1，解之得k=±

3

当直线在x轴上的交点位于A、B之间时，原方程也有唯一解
∵k_AC=2且k_BC=-2，
∴线在x轴上的交点位于A、B之间时，k＜-2或k＞2
综上所述，原方程有唯一实数解时，k＜-2或k＞2或k=±

3

故选：D

由题意，方程左边对应的函数图象是以原点为圆心、半径为1的圆的上半圆，右边对应的函数图象是经过定点C（0，2）且斜率为k的一条直线．可得当直线与半圆相切时或直线在x轴上的交点位于（-1，0）和（1，0）之间时，原方程有唯一的实数解．由此建立关于k的代数关系式，即可得到实数k的范围．

本题考点：直线和圆的方程的应用．

考点点评：本题给出方程有唯一的实数解，求参数k的值或范围．着重考查了直线方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．