题目

已知函数f（x）=ax²-2x+lnx
（Ⅰ）若f（x）无极值点，但其导函数f′（x）有零点，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求a的取值范围，并证明f（x）的极小值小于-

3

2

提问时间：2020-08-02

答案

解 （Ⅰ）首先，x＞0f/(x)＝2ax−2+

1

x

＝

2ax2−2x+1

x

f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，故a≠0，且2ax²-2x+1=0的△=0．由此可得a＝

1

2

（Ⅱ）由题意，2ax²-2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，a＞0．
解得：0＜a＜

1

2

设2ax²-2x+1=0的两根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
因为在区间（0，x₁），（x₂，+∞）上，f′（x）＞0，
而在区间（x₁，x₂）上，f′（x）＜0，故x₂是f（x）的极小值点．
因f（x）在区间（x₁，x₂）上f（x）是减函数，如能证明f(

x1+x2

2

)＜−

3

2

，则更有f(x2)＜−

3

2

由韦达定理，

x1+x2

2

＝

1

2a

，f(

1

2a

)＝a(

1

2a

)2−2(

1

2a

)+ln

1

2a

＝ln

1

2a

−

3

2

•

1

2a

令

1

2a

＝t，其中设g(t)＝lnt−

3

2

t+

3

2

，
利用导数容易证明g（t）当t＞1时单调递减，而g（1）=0，
∴g（t）=lnt-

3

2

t+

3

2

＜0，
因此f（

1

2a

）＜-

3

2

，
从而有f（x）的极小值f（x₂）＜-

3

2

．