题目

关于有泰勒公式求极限的问题
用泰勒公式来求：当x趋于0时lim(e^x * sinx - x(1+x))/(x^3)的极限
我这样算对不对：
分子=(e^x * sinx - x(1+x))=[1 + x + x^2/2 + o(x^2)][x + o(x)] - x(1+x) = x^3/2 + o(x^3)
再加上分母得1/2,而参考答案则为
.(e^x * sinx - x(1+x))
=[1 + x + x^2/2 + o(x^2)][x - x^3/6 + o(x^3)] - x(1+x) = x^3/3 + o(x^3)
最后得1/3
答案的sinx比我多展开了,为什么要这样呢?而我的为什么不对?

提问时间：2020-08-02

答案

你把sinx开展成x + o(x^3)对这一题来说是不妥当的,因为与sinx相乘的e^x展开第一项是常数项,所以sinx的x^3项对于分子来说不是高阶无穷小,是同价的,所以参考答案的展开是对的