题目
如图,四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,PD⊥平面ABCD,M为PC中点.
(1)求证:AP∥平面MBD;
(2)若AD⊥PB,求证:BD⊥平面PAD.
(1)求证:AP∥平面MBD;
(2)若AD⊥PB,求证:BD⊥平面PAD.
提问时间:2020-08-02
答案
(1)设AC∩BD=H,连接EH,
∵H为平行四边形ABCD对角线的交点,∴H为AC中点,
又∵M为PC中点,∴MH为△PAC中位线,
可得MH∥PA,
MH⊂平面MBD,PA⊄平面MBD,
所以PA∥平面MBD.
(2)∵PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,
∴PD⊥AD,
又∵AD⊥PB,PD∩PB=D,
∴AD⊥平面PDB,结合BD⊂平面PDB,得AD⊥BD
∵PD⊥BD,且PD、AD是平面PAD内的相交直线
∴BD⊥平面PAD.
∵H为平行四边形ABCD对角线的交点,∴H为AC中点,
又∵M为PC中点,∴MH为△PAC中位线,
可得MH∥PA,
MH⊂平面MBD,PA⊄平面MBD,
所以PA∥平面MBD.
(2)∵PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,
∴PD⊥AD,
又∵AD⊥PB,PD∩PB=D,
∴AD⊥平面PDB,结合BD⊂平面PDB,得AD⊥BD
∵PD⊥BD,且PD、AD是平面PAD内的相交直线
∴BD⊥平面PAD.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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