题目

能够成为直角三角形三边长的三个整数,我们称之为一组勾股数,观察下列表格所给出的三个数 a,b,c,a
（1）找出它们的共同点，并证明结论；（2）写出当a=21时，c的值。
3,5 3□+4□=5□
5,12,13 5□+12□=13□
7,24,25 7□+24□=25□
9,40,41 9□+40□=41□
......
21，c 21□+b□=c□

提问时间：2020-08-02

答案

（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：
①以上各组数均满足a2+b2=c2；
②最小的数（a）是奇数,其余的两个数是连续的正整数；
　　③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和,
　　如32=9=4+5,52=25=12+13,72=49=24+25,92=81=40+41...
由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：
　　设m为大于1的奇数,将m2拆分为两个连续的整数之和,即m2=n+（n+1）,
　　则m,n,n+1就构成一组简单的勾股数．
证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数）,
∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2,
∴m,n,（n+1）是一组勾股数．