题目

设数列{a_n}的前n项和为S_n满足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

提问时间：2020-08-02

答案

（1）在2S_n=a_n+1-2^n+l+1中，
令n=1得：2S₁=a2-22+1，即a₂=2a₁+3  ①
令n=2得：2S2=a3-23+1，即a₃=6a₁+13  ②
又2（a₂+5）=a₁+a₃  ③
联立①②③得：a₁=1；
（2）由2S_n=a_n+1-2^n+l+1，得：
2Sn+1=an+2-2n+2+1，
两式作差得an+2=3an+1+2n+1，
又a₁=1，a₂=5满足a2=3a1+21，
∴an+1=3an+2n对n∈N^*成立．
∴an+1+2n+1=3(an+2n)．
∴an+2n=3n．
则an=3n-2n．