题目

已知函数f（x）=x³-3ax-1，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若y=f（x）在x=1在处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

提问时间：2020-08-02

答案

【答案】（1）由题知：f'（x）=3x²-3a=3（x²-a），
①当a＜0时，对∀x∈R，恒有f'（x）＞0，
即当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．
②当a＞0时，
解f'（x）＞0得，x＞

a

或x＜−

a

，
解f'（x）＜0得，−

a

＜x＜

a

，
即当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（−

a

，

a

），
f（x）的单调递增区间为（-∞，−

a

）和（

a

，+∞）．
（2）∵y=f（x）在 x=1处取得极值，
∴f'（1）=3-3a=0，
则a=1．
即f（x））=x³-3x-1，f'（x）=3x²-3；
解f'（x）=0得，x=±1．
由（1）知：f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=1；在x=1处取得极小值f（1）=-3
∵直线y=m与y=f（x）函数的图象有三个不同的交点，
结合f（x）的单调性可得，-3＜m＜1．
所以m的范围为（-3，1）．

（1）利用导数，讨论确定f（x）的单调区间；（2）结合函数图象可知，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点只需使m在两个极值之间．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查了利用导数求函数单调性的方法，同时也考查了分类讨论和数形结合的思想．