题目

已知函数f（x）=x³-ax²-3x．
（I）若x＝−

1

3

是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值；
（II）在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．

提问时间：2020-08-01

答案

（I）依题意，求导函数，可得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵x＝−

1

3

是f(x)的极值点
∴f′（-

1

3

）=0，∴

1

3

+

2

3

a-3=0，∴a=4，
∴f（x）=x³-4x²-3x，f′（x）=3x²-8x-3，
令f′（x）=3x²-8x-3=0，解得x₁=-

1

3

，x₂=3，
∴函数在（1，3）上单调减，（3，4）上单调增
而f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12，∴f（x）在区间[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（Ⅱ）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个不同的交点，等价于方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等的实数根，
而x=0是方程x³-4x²-3x=bx的一个实数根，则方程x²-4x-3-b=0有两个非零实数根，
则

△＝16+4(b+3)＞0 −3−b≠0

，即b＞-7且b≠-3，
故满足条件的b存在，其取值范围是（-7，-3）∪（-3，+∞）．

（I）首利用函数的导数与极值的关系求出a的值，确定函数在区间[1，4]上的单调性，求出函数极值的大小并与端点函数值进行比较，即可求出函数的最大值；
（Ⅱ）可以先假设存在，将函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个不同的交点，等价于方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等的实数根，进一步转化为方程x²-4x-3-b=0有两个非零实数根，即可求得结论．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性、极值与最值，考查图象的交点，熟练运用导数与函数单调性的关系，将图象的交点问题转化为方程根的研究是解题的关键．