题目

已知复数z满足|z|=5，且（3+4i）z是纯虚数，求z．

提问时间：2020-07-31

答案

设 z=x+yi（x，y∈R），
∵|z|=5，
∴x²+y²=25，①
又（3+4i）z=（3+4i）（x+yi）=（3x-4y）+（4x+3y）i是纯虚数，
∴3x-4y=0②，
且4x+3y≠0③
联立三个关系式①②③解得

x＝4 y＝3

或

x＝−4 y＝−3

，
∴z=4+3i或z=-4-3i．

设 z=x+yi（x，y∈R），由|z|=5，可得x²+y²=25，再利用（3+4i）z=（3+4i）（x+yi）=（3x-4y）+（4x+3y）i是纯虚数，可得3x-4y=0，且4x+3y≠0，联立解得即可．

本题考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．

考点点评：本题考查了复数的有关概念和模的计算公式，属于基础题．