题目

高一的向量和概率问题,会的高手帮下忙（都是过程,
三题向量,
1.非零向量a,b满足模a+b=模b,则
A.模2a＞模2a+b B.模2a＜模2a+b C.模2b＞模a+2b D.模2b＜模a+2b
2.设P为△ABC所在平面内一点,且满足向量PA*PB=向量PB*PC=向量PC*PA,则P是△ABC的（） A重心 B垂心 C外心 D内心
3.点A（3,0）B（0,3）C（cosa,sina）O（0,0）,若模OA+OC=根号13,a∈（0,π）,则向量OB与OC的夹角为?
一题概率,有分加
1.某路口的交通指示灯,红灯时间为30秒,黄灯为10秒,绿灯为40秒.当你到达路口时,看见红灯的概率是?

提问时间：2020-07-31

答案

1.∵|a+b|=|b|,
∴|a+2b|=|(a+b)+b|≤|a+b|+|b|=2|b|,
当且仅当(a+b)与b同向时取等号,
又a,b是非零向量,
∴(a+b)与b不可能同向,等号不成立,故选C.
2.由PA•PB= PB•PC,得PA•(PB-PC)=0,
即PA•CB=0,∴PA⊥BC；
同理,PB⊥CA ,PC⊥AB,
∴点P是△ABC的垂心,故选B.
3.∵OA=(3,0),OC=( cosα,sinα),
∴OA+OC=（3+ cosα,sinα）,
|OA+OC|²=（3+ cosα）²+sin²α=10+6cosα=13,
cosα=1/2,α∈（0,π）,
∴sinα=(√3)/2,OC=（1/2,(√3)/2）,
OB与OC的夹角的余弦值为(OB•OC)/(|OB||OC|)=(√3)/2,
OB与OC的夹角为π/6.
4.这是一个几何概型,试验“人随机到达路口”对应的几何区域D是一条长为80的线段,
事件“到路口看见红灯”对应的几何区域d是一条长为30的线段,所以所求概率为30/80=3/8,
即人到达路口看见红灯的概率为3/8.