题目

设函数f(x,y)= xy^2/(x^2+y^4); (x,y)不等于(0,0) 0 ; (x,y)=(0,0) 判断f(x,y)在点(0,0)处的极限与连续性
就是这个函数分为(x,y)等于0和不等于0两种情况,一个得到函数式,一个得到0.我只知道设x=ky^2,然后代入第一个函数式,化简的结果是k/(k^2+1).然后该怎么判断就不会了,好像是什么化简结果必须是常数就怎样怎样的.顺便要是能讲解一下极限与连续性的详细的关系,一般该怎么判断,让我好好掌握一下,那就更好了.
f(x,y)=xy^2/(x^2+y^4); (x,y)不等于(0,0)
0 ; (x,y)=(0,0)

提问时间：2020-07-31

答案

多元函数要想有极限,必须且只需当(x,y)沿任何方式趋于（0,0）（我只以原点为例说明）,
函数f(x,y)有相同的方式.一般证明函数极限存在时不用这个结论,因为比较麻烦.
但证明极限不存在时用这个结论的反面：极限不存在当且仅当有两种不同的方式,使得
函数极限不相等.比如本题：
你找到了两个不同的方式：x＝ky^2,随着k的不同,这是无数种趋于原点的方式,
在这些方式中,极限是k/(K^2+1),也是随着方式的不同而变化的,因此函数极限不存在.
另外,函数在该点连续,则函数极限必存在且等于改点的函数值.这是充要条件.
反之,极限不存在,或极限存在但不等于函数值,函数在改点不连续.
这些都是最基本的定义,是需要记住的.