题目

已知两个自然数的和是60，他们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求这两个自然数各是多少？

提问时间：2020-07-31

答案

设所求二数为x，y，且（x，y）=d，令x=ad，y=bd，则（a，b）=1．
根据题意有

a+b= 60 d 1+ab= 84 d

，
由于（60，84）=12，
所以d=l，2，3，4，6，12．
而当d：1，2，3，4，6时，方程组无解．
当d=12时，方程组变为

a+b=5 ab=6

，
解得

a=2 b=3

或

a=3 b=2

．
故所求的两数为x=24，y=36．
答：这两个自然数为24和36．

首先假设出这个两数，得出有关两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84的两个方程，再进行分析得出符合要求的取值．

本题考点：公约数与公倍数问题．

考点点评：此题主要考查了方程组的解法以及最大公约数与最小公倍数的性质，正确的出d的取值是解决问题的关键．