题目

已知x1、x2、xn∈(0,+∞),求证:x1^2/x2+x2^2/x3+…+xn-1^2/xn+xn^2/x1≥x1+x2+…+xn

提问时间：2020-07-30

答案

证明：
x1,x2,...xn>0,使用均值不等式,
(x1)^2/x2+x2≥2x1,
(x2)^2/x3+x3≥2x2,
...
(xn)^2/x1+x1≥2x1,
上述所有式子相加再两边除以2,得到
(x1)^2/x2+(x2)^2/x3+...(xn)^2/x1≥x1+x2+...+xn
如果知道柯西不等式,有
[(x1)^2/x2+(x2)^2/x3...+(xn)^2/x1](x2+x3+...+x1)
≥{√[(x1)^2/x2*x2]+√[(x2)^2/x3*x3]+..+√[(xn)^2/x1*x1]}^2
=(x2+x3+...+x1)^2
两边同除以(x2+x3+..+x1)
也得到要证明的不等式.