题目

已知三角形两边分别为1和根号3,第三边上的中线长为1,则三角形的外接圆半径为多少?

提问时间：2020-07-30

答案

设第三边长是2x,中线与第三边所成的两个角分别为a,∏－a,由余弦定理得
1=x²＋1－2xcosa
3=x²＋1－2xcos(∏-a）
相加得：x=1
所以第三边长为2,是个直角三角形,斜边是第三边,所以外接圆半径是1
一个方法就是蒙,猜它是直角三角形,确实也是,斜边为2,不过这样没有根据,也没有一般性~
可以用解析几何做,设其中一个顶点是原点(0,0),然后另一个顶点为(1,0),这样那条边长为1的边就确定了,然后设第三个顶点为(x,y),然后根据题意利用线段长度的求法可以列出两个方程
边长为√3：3=x^2+y^2
中线为1：1=[(x+1)/2]^2+(y/2)^2
解出x=0,y=√3
然后剩下的求外接圆,证明下它是一个直角三角形,然后外接圆半径直接就是斜边的一半,为1.
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