题目

已知点A（-3，5），B（2，15），在直线l：3x-4y+4=0上求一点P，使|PA|+|PB|最小．

提问时间：2020-07-30

答案

由题意知，点A、B在直线l的同一侧．由平面几何性质可知，先作出点A关于直线l的对称点A′，
然后连接A′B，则直线A′B与l的交点P为所求．
事实上，设点P′是l上异于P的点，则|P′A|+|P′B|=|P′A′|+|P′B|＞A′A^′B|=|PA|+|PB|．
设A′（x，y），则

y−5

x+3

•

3

4

＝−1，且 3•

x−3

2

-4

y+5

2

+4=0，解得 x=3，y=-3，∴A′（3，-3），
∴直线A′B的方程为18x+y-51=0．
由

3x−4y+4＝0 18x+y−51＝0

，解得

x＝ 8 3 y＝3

，
∴P（

8

3

，3）．

先作出点A关于直线l的对称点A′，然后连接A′B，则直线A′B与l的交点P为所求．利用线段的垂直平分线的性质
求得A′（3，-3），可得直线A′B的方程，再把直线A′B的方程与直线l的方程联立方程组求得点P的坐标．

本题考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．

考点点评：本题主要考查线段的垂直平分线的性质应用，求两直线的交点坐标，属于中档题．