题目

已知椭圆GX^24+Y^2=1,点(m,0)做圆X^2+Y^2=1的切线交椭圆于A B两点,若|AB|=2 ,求m的值

提问时间：2020-07-29

答案

没想到有什么简单的方法,硬算吧
首先讨论一下切线斜率是否存在
若切线斜率不存在,则必有m=1或-1,则易算得|AB|=√3,不满足
若切线斜率存在,设切线y=k(x-m),设A(x1,y1) B(x2,y2)
由相切知,圆心到切线距离等于半径,即：|km|/√(1+k²)=1
得到：m²k²＝k²＋1 (1)
然后联立直线和椭圆：
(1＋4k²)x²-8k²mx＋4k²m²-4＝0
韦达定理得：x1+x2=8k²m/(1+4k²)
x1x2=(4k²m²-4)/(1+4k²)
|AB|＝√[(x1－x2)²＋(y1－y2)²]
＝√(1＋k²)[(x1＋x2)²－4x1x2]
＝√(1＋k²)[ [64k⁴m²/(1＋4k²)²]－[4(4k²m²－4)/(1＋4k²)] ] (1)带入得到
＝(4√3|m|)/(m²＋3) (2)
=2
则解得m=±√3