题目

若不等式

x2

108

+

y2

4

≥

xy

3k

对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是k∈[m，+∞），则正整数m只能取 ___ ．

提问时间：2020-07-28

答案

不等式

x2

108

+

y2

4

≥

xy

3k

两边同除以xy得：

x

108y

+

y

4x

≥

1

3k

∵不等式

x2

108

+

y2

4

≥

xy

3k

对于任意正实数x，y总成立
∴

x

108y

+

y

4x

≥

1

3k

对于任意正实数x，y总成立
∴

1

3k

≤2

xy 108y4x

=

1

108

∴3k≥

108

∴k≥

1

2

+

log

6 3

1

2

+

log

3 6

又∵总成立的必要不充分条件是k∈[m，+∞），
∴[

1

2

+

log

6 3

，+∞)⊆[m，+∞），
∴正整数m只能取 1或2
故答案为：1或2

将不等式

x2

108

+

y2

4

≥

xy

3k

两边同除以xy转化为

x

108y

+

y

4x

≥

1

3k

，左边用基本不等式，求其最小值，再由“不等式

x2

108

+

y2

4

≥

xy

3k

对于任意正实数x，y总成立”得到

1

3k

≤2

xy 108y4x

＝

1

108

求得k的范围，最后由“成立的必要不充分条件是k∈[m，+∞）”，求得正整数m的取值．

本题考点：其他不等式的解法．

考点点评：本题主要考查不等式恒成立，往往转化为求代数式的最值问题，一般有两种方法，一是基本不等式，二是函数法．