题目

已知函数f(x)={2的x次方,x≥0, 2+2x-x², x＜0. 若f(2-a²)>f(a),则实数a的取值范围
要告诉我是怎么做的哦.谢谢

提问时间：2020-07-28

答案

结论：a≤-√2或者0≤a<1
f(x)在x<0部分是单调递增函数,在x>0也是,在x=0处不连续.f(2-a²)>f(a)成立条件分以下几种情况进行讨论：
一：2-a^2>a≥0. 解得0≤a<1
二：2-a^2 三：2-a^2≥0, a<0, 2^(2-a^2)>2+2*a-a^2. 由前面两个式子可得a≤-√2, 在此情形(a≤-√2)下-a^2+2a+2<0<2^(2-a^2) （-a^2+2a+2的零点在1-√3处）,所以第三个式子自动成立
四：2-a^2<0, a≥0, 2^a<2+2*(2-a^2)-(2-a^2)^2. 由前面两个式子可得a>√2, 在此情形(a>√2)下,2+2*(2-a^2)-(2-a^2)^2<2<2^(√2)<2^a （-a^2+2a+2在x<0部分是单调递增函数且在x=0时值为2）,所以第三个式子不能成立.因此此种情况不能提供有效解.
结论：a≤-√2或者0≤a<1