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题目
设函数f(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t),求g(t)的值域.

提问时间:2020-07-28

答案
∵f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,∴对称轴x=1,顶点坐标(1,-2),如图所示;
f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增
当0≤t≤1时,g(t)=-2;
当t≥1时,在区间[t,t+1]上是增函数,g(t)=f(t)=t2-2t-1;
当t≤0时,在区间[t,t+1]上是减函数,g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)-1=t2-2.
∴g(t)=
−2            0≤t≤1
t2−2t−1   t>1
t2−2         t<0

综合以上得:g(t)的值域为[-2,+∞).
通过函数f(x)与g(t)的关系求出g(t)的函数表达式,再求出各表达式的值域取并集即可.

二次函数在闭区间上的最值.

此题是关于二次函数的最值问题,解题时体会分类讨论和数形结合思想.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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