题目

若直线y=k（x-2）+1与曲线y＝−

1−x2

有两上不同的交点，则k的取值范围是（　　）
A. [1，

4

3

]
B. [1，

4

3

)
C. (

3

4

，1]
D. (0，

4

3

)

提问时间：2020-07-27

答案

∵直线y=k（x-2）+1是过A（2，1）的直线，
曲线y＝−

1−x2

是圆心在原点，半径为1，y≤0的半圆，
∴作出如图图形：
当直线y=k（x-2）+1与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，
即

|k×0−0−2k+1|

k2+1

＝1，
解得：k=

4

3

；
当直线y=k（x-2）+1过B（1，0）点时，直线l的斜率k=

1−0

2−1

=1，
∵直线y=k（x-2）+1与曲线y＝−

1−x2

有两上不同的交点，
∴k的取值范围是[1，

4

3

）．
故选B．

要求直线y=k（x-2）+1斜率的取值范围，方法为：曲线y＝−

1−x2

表示以（0，0）为圆心，1为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线y=k（x-2）+1与半圆有不同的交点，故抓住两个关键点：当直线y=k（x-2）+1与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当直线y=k（x-2）+1过B点时，由A和B的坐标求出此时直线l的斜率，根据两种情况求出的斜率得出k的取值范围．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．