题目
抛物线y²=-12x的一条弦的中点为M(-2,-3),求次弦所在的方程及弦长
直线方程已经解出来了 y=2x+1 弦长我算出来是根号75...
直线方程已经解出来了 y=2x+1 弦长我算出来是根号75...
提问时间:2020-07-27
答案
你的答案是正确的,只是弦长的值还需要化简!
第一个问题:
由抛物线方程y^2=-12x,可知:抛物线关于x轴对称,而点M(-2,-3)不在x轴上,
∴过点M的弦存在斜率,令斜率为k,则弦的方程是:y+3=k(x+2),即:y=kx+2k-3.
联立:y=kx+2k-3、y^2=-12x,消去y,得:(kx+2k-3)^2=-12x,
∴k^2x^2+2(2k-3)kx+(2k-3)^2+12x=0,
∴k^2x^2+2[(2k-3)k+6]x+(2k-3)^2=0.
∵弦的两端点都在直线y=kx+2k-3上,
∴可设弦的两端点坐标分别为(m,km+2k-3)、(n,kn+2k-3).
显然,m、n是方程k^2x^2+2[(2k-3)k+6]x+(2k-3)^2=0的两根,
∴由韦达定理,有:m+n=-2[(2k-3)k+6]/k^2.
由中点坐标公式,有:(m+n)/2=-2,∴m+n=-4,∴-2[(2k-3)k+6]/k^2=-4,
∴(2k-3)k+6=2k^2,∴2k^2-3k+6=2k^2,∴k=2,∴2k-3=1.
∴满足条件的弦的方程是:y=2x+1.
第二个问题:
由韦达定理,有:mn=(2k-3)^2/k^2=[(2×2-3)/2]^2=1/4.
∴弦长
=√[(m-n)^2+(km-kn)^2]=√[(1+k^2)(m-n)^2]
=√[(1+4)(m-n)^2]=√{5[(m+n)^2-4mn]}
=√{5×[(-4)^2-4×(1/4)]}=√[5×(16-1)]=5√3.
第一个问题:
由抛物线方程y^2=-12x,可知:抛物线关于x轴对称,而点M(-2,-3)不在x轴上,
∴过点M的弦存在斜率,令斜率为k,则弦的方程是:y+3=k(x+2),即:y=kx+2k-3.
联立:y=kx+2k-3、y^2=-12x,消去y,得:(kx+2k-3)^2=-12x,
∴k^2x^2+2(2k-3)kx+(2k-3)^2+12x=0,
∴k^2x^2+2[(2k-3)k+6]x+(2k-3)^2=0.
∵弦的两端点都在直线y=kx+2k-3上,
∴可设弦的两端点坐标分别为(m,km+2k-3)、(n,kn+2k-3).
显然,m、n是方程k^2x^2+2[(2k-3)k+6]x+(2k-3)^2=0的两根,
∴由韦达定理,有:m+n=-2[(2k-3)k+6]/k^2.
由中点坐标公式,有:(m+n)/2=-2,∴m+n=-4,∴-2[(2k-3)k+6]/k^2=-4,
∴(2k-3)k+6=2k^2,∴2k^2-3k+6=2k^2,∴k=2,∴2k-3=1.
∴满足条件的弦的方程是:y=2x+1.
第二个问题:
由韦达定理,有:mn=(2k-3)^2/k^2=[(2×2-3)/2]^2=1/4.
∴弦长
=√[(m-n)^2+(km-kn)^2]=√[(1+k^2)(m-n)^2]
=√[(1+4)(m-n)^2]=√{5[(m+n)^2-4mn]}
=√{5×[(-4)^2-4×(1/4)]}=√[5×(16-1)]=5√3.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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