题目

已知关于x的方程2x^2-(根号3+1)x+m=0的两根为 sin θ,cos θ,θ∈(0,π)
求m的值
求tanθsinθ / tanθ-1 +cosθ/1-tanθ的值
方程的两根及此时θ的值

提问时间：2020-07-27

答案

关于x的方程2x^2-(根号3+1)x+m=0的两根为 sin θ,cos θ
则
sinθ+cosθ=(√3+1)/2…………（1）
sinθcosθ=m/2………………（2）
(1)tanθsinθ / tanθ-1 +cosθ/1-tanθ
=sin^2 θ/(sin
θ-cos θ) + cos θ/(1-tan θ)
= sin^2 θ/(sin θ-cos θ) + cos
θ/[1-(sinθ/cosθ)]
=sin^2 θ/(sin θ-cos θ) + cos
θ/[(cosθ-sinθ)/cosθ]
=sin^2 θ/(sin θ-cos θ) + cos^2
θ/(cosθ-sinθ)
=sin^2 θ/(sin θ-cos θ) - cos^2 θ/(sinθ-cosθ)
=(sin^2
θ-cos^2 θ)/(sin θ-cos θ)
=(sin θ-cos θ)(sin θ+cos θ)/(sin θ-cos
θ)
=sin θ+cos θ= (√3+1)/2
(2).将(1)式两边平方得到：
sin^2 θ+cos^2 θ
+2sinθcosθ=(1/4)(3+2√3+1)
1+2sinθcosθ=1 + √3/2,
求得 sinθcosθ=√3/4,
根据(2)式 sinθcosθ=m/2
解得 m=√3/2
(3)已经求得 m=√3/2,
方程就变成：2x^2-(√3+1)x+(√3/2)=0
分解为：[2x-1][x-(√3/2)]=0
解得：x1=1/2,x2=√3/2,就是方程两个根.
在
θ∈(0,2π) 的前提下,
如果 sinθ=1/2,则cosθ=√3/2,可得 θ=π/6
如果
sinθ=√3/2,则cosθ=1/2,可得 θ=π/3 .