题目

证明：（x1+x2+...xn)/n＜根号[（x1^2+x2^2+...xn^2)/n]
答案的证明过程是酱紫的：令fx=x^2,p1=p2=p3=...pn=1/n
因为f'(x)=2＞0,所以f[p1x1+...pnxn]≤p1f(x1)+...pnf(xn)
最后这个所以看不懂,请指教

提问时间：2020-07-27

答案

这个我也不懂.不过可以不用这个证法
另证:引理(柯西不等式):(a1b1+a2b2+...+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)
令A=a1^2+a2^2+...+an^2,B=a1b1+a2b2+...+anbn,C=b1^2+b2^2+...+bn^2
构造f(x)=Ax^2+2Bx+C=(a1x+b1)^2+(a2x+b2)^2+..+(a3x+b3)^2≥0
从而判别式△=B^2-4AC≤0,
所以(a1b1+a2b2+...+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)
令ai=xi,bi=1/n(i=1,2..n),并且两边开根号,便得该不等式