题目

高等数学梯度问题
高等数学中,梯度的方向是朝外法线方向还是朝内法线方向.急求

提问时间：2020-07-27

答案

朝外法线方向
首先要了解梯度和切平面的概念.
对一个二元函数来说z=f(x,y)确定了一个曲面.而它的梯度为
gradf(x,y)=бf/бx*i+бf/бy*j
而在曲面z=f(x,y)上任意一点的法向量为{бf/бx,бf/бy,-1}
显然梯度是在二维平面内的方向导数,而曲面的法向量是在三维空间里面的方向.
梯度的方向是与过曲面上点P(x0,y0,z0)的等高线f(x,y)=z0在点P的法线的一个方向相同,且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线.
所以梯度的方向应该是垂直于等高面,而不是曲面的切平面.也就是说,梯度的方向与切平面的法向量在xoy平面上的投影的方向平行.