题目

已知对任意的x>0恒有alnx≤b(x-1)成立,证明 ln(n!)>2n-4√n,(n∈N,n≥2)其中n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1

提问时间：2020-07-27

答案

设f(x)=alnx-b(x-1)
易得f(1)=0
要他恒成立
f'(x)=(a-bx)/x
因为x＞0 只需考虑a-bx
即x=1时
a-b≤0
即b≤a
不妨取a=b=1
即lnx≤(x-1)
设g（x）=m√x+n,（m,n∈R）,且lnx≤g（x）≤b（x-1）对∀x＞0恒成立
当x=1
则0≤g(0)≤0
则m+n=0
∴m√x-m≤x-1
则((√x)^2-1)+(m-m√x)≥0
即(√x-1)((√x+1)+m(1-√x)≥0
即(√x-1)(√x+1-m)≥0恒成立
即∴须1-m=-1,即m=2
即g（x）=2√x-2时
lnx≤g（x）
即
ln(1/k)≤2/(√k) -2
即ln(1/k)≤4/(2√k) -2
即ln(1/k)≤4/(2√k) -2＜4/(√k+√(k-1)) -2
分母有理化ln(1/k)≤4/(2√k) -2＜4/(√k+√(k-1)) -2=4(√k-√(k-1))-2
所以ln(1/n!)＜4(√n-√(n-1)+√(n-1)-√n-2```````√1-√0)-2n=4√n-2n
即ln(1/n!)＜2n-4√n
- ln(n!)＜2n-4√n
即n(n!)>2n-4√n
证毕
求加分```````````````````
打了很久啊````````````````````````