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题目
如图,△ABC是边长为l的等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB于M,交AC于N,连接MN,形成一个三角形,
求证:△AMN的周长等于2.

提问时间:2020-07-27

答案
证明:如图,在AC延长线上截取CM1=BM,
∵△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠DCB=30°,
∴∠ABD=∠ACD=90°,
∴∠DCM1=90°,
∵BD=CD,
∵在△BDM和△CDM1中,
BD=CD
∠ABD=∠DCM1=90°
CM1=BM

∴△BDM≌△CDM1(SAS),
得MD=M1D,∠MDB=∠M1DC,
∴∠MDM1=120°-∠MDB+∠M1DC=120°,
∴∠NDM1=60°,
在△MDN和△M1DN中,
DM=M1D
∠MDN=∠NDM1
DN=DN

∴△MDN≌△M1DN(SAS),
∴MN=NM1
故△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2.
可在AC延长线上截取CM1=BM,得Rt△BDM≌Rt△CDM1,得出边角关系,再求解△MDN≌△M1DN,得MN=NM1,再通过线段之间的转化即可得出结论.

全等三角形的判定与性质.

本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题,能够通过线段之间的转化进而求解一些简单的结论.

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