题目

如图,三角形abc是正三角形,三角形bDC是顶角等于120度的等腰三角形.以d为顶点做六十度角,角的两边分别交ab,ac于m,n两点,连接mn,
（1）探究线段bm,mn,nc之间的关系并证明.
（2）若点m,n分别是射线abca上一点,其他条件不变,再探索线段bm,mn,nc之间的关系,画出图形,并说明理由

提问时间：2020-07-27

答案

（1）MN=BE+CN
证明：延长AB,使BE=CN,连接DE
因为三角形BDC是顶角等于120度的等腰三角形
所以角BDC=120度
BD=CD
所以角DBC=角DCB
因为角DBC+角DCB+角BDC=180度
所以角DBC=角DCB=30度
因为三角形ABC正三角形
所以角ABC=角ACB=60度
因为角ABD=角ABC+角DBC
角ACD=角ACB+角DCB
所以角ABD=角ACD=90度
因为角ABD+角DBE=180度
所以角DBE=角ACD=90度
所以三角形DBE和三角形DCN全等（SAS)
所以DE=DN
角BDE=角CDN
因为角BDC=角BDM+角MDN+角CDN=120度
所以角BDM+角BDE=角MDE=60度
所以角MDE=角MDN=60度
因为DM=DM
所以三角形MDE和三角形MDN全等（SAS)
所以ME=MN
因为ME=BM+BE
所以MN=BM+CN
(2)MN=CN-BM
证明：在AC边上截取CF=BM,连接DF
因为三角形BDC是顶角等于120度的等腰三角形
所以角BDC=120度
BD=CD
所以角DBC=角DCB
因为角DBC+角DCB+角BDC=180度
所以角DBC=角DCB=30度
因为三角形ABC是正三角形
所以角ABC=角ACB=60度
因为角ABD=角ABC+角DBC
角ACD=角ACB+角DCB
所以角ABD=角ACD=90度
因为角ABD+角DBM=180度
所以角DBM=90度
所以角DBM=角ACD=90度
所以三角形DBM和三角形DCF全等（SAS)
所以DM=DF
角BDM=角CDF
因为角MDN=角BDM+角BDN=60度
所以角BDN+角CDF=60度
因为角BDC=角BDN+角FDN+角CDF=120度
所以角MDN=角FDN=60度
因为DN=DN
所以三角形MDN和三角形FDN全等（SAS)
所以MN=FN
因为CN=CF+FN
所以CN=MN+BM
所以MN=CN-BM
对不起图传不过来