题目

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB＝90,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,则A1B与平面ABD所成角的余弦值是（ ）
A（根号2）/3
B(根号7)/3
C（根号3）/2
D（根号3）/7

提问时间：2020-07-27

答案

∵∠ACB＝90°,CC1⊥平面ABC
∴可以以点C为原点,以CA,CB,CC1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
设AC=2a,则
A(2a,0,0),B(0,2a,0),C(0,0,0),A1(2a,0,2),C1(0,0,2)
∴D(0,0,1),E(a,a,1).
点G为△ABD的重心,由中心坐标公式,可得
G(2a/3,2a/3,1/3),∴向量GE=(a/3,a/3,2/3).
∵G为E在平面ABD上的射影为G,则GE⊥平面ABD
∴向量GE·向量AD=(a/3,a/3,2/3)·(-2a,0,1)=-2a²/3+2/3=0,解得a=1(负根舍去)
所以,向量GE=(1/3,1/3,2/3),向量BA1=(2,-2,2).
而EG为平面ABD的法向量,
cos=(向量GE·向量BA1)/(|向量GE||向量BA1|)=(4/3)/(根号6/3×2根号3)=根号2/3
所以,A1B与平面ABD所成角的正弦值为根号2/3,故余弦值为 根号7/3.
答案：B.
【小弟用空间向量的方法做的,叙述比较麻烦,还请老兄慢慢看；用综合法小弟试过,很麻烦,还不好算,再次就不叙述了】