题目

在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f（x）=k（x-2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：
①存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；
②存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有两条；
③存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有三条；
④存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有四条.
其中所有真命题的序号是（　　）
A. ①②③
B. ③④
C. ②④
D. ②③④

提问时间：2020-07-27

答案

∵直线y=k（x-2）+3与x轴，y轴交点的坐标分别是，A（2-

3

k

，0），B（0，3-2k）．
S_△=

1

2

×|2-

3

k

|×|3-2k|=

1

2

×

(2k-3)2

|k|

．
当k>0时，S_△=

1

2

×

4k2-12k+9

k

=

1

2

×（4k+

9

k

-12），
∵4k+

9

k

≥2

4×9

=12，当且仅当k=

3

2

时取等号．
∴当S_△=m>0时，在k>0时，k有两值；
当k<0时，S_△=

1

2

×

(2k-3)2

|k|

=

1

2

×

4k2-12k+9

-k

=

1

2

×[（-4k+

9

-k

）+12]，
∵-4k+

9

-k

≥2

4×9

=12．当且仅当k=-

3

2

时取等号．
当m>12时，在k<0时，k有两值．；
∴当 m=0时，仅有一条直线使△AOB的面积为m，∴①不正确；
当0<m<12时，仅有两条直线使△AOB的面积为m，∴②正确；
当m=12时，仅有三条直线使△AOB的面积为m，∴③正确；
当m>12时，仅有四条直线使△AOB的面积为m，∴④正确．
故选D

根据直线方程求出直线在两坐标轴上的截距，再构造以斜率k为自变量，S_△是变量k的函数，利用均值不等式求函数最小值方法，分k＞0和k＜0两种情况讨论存在直线的条件，再分析求解．

本题考点：命题的真假判断与应用；基本不等式在最值问题中的应用．

考点点评：本题借助考查命题的真假判定，考查直线与坐标轴围成的△的面积问题．S_△的面积可根据直线在坐标轴上的截距求得．在本题中根据斜率k取值的个数来确定直线存在的条数，这是解决此类题的常用方法．