题目

直线与双曲线只有一交点 为什么要分 直线与渐近线平行,相切 讨论 直接用判别式不行吗

提问时间：2020-07-27

答案

我考虑了一会儿,有结果了……
举个例子好理解,我们设双曲线y=1/x与过点（1,-1）的直线只有一个交点,现在求直线方程.
判别式法如下：设直线方程为y=k(x-1)-1,与y=1/x联立方程组为
y=k(x-1)-1①
y=1/x②
把②I代入①,消去y整理得关于x的方程
kx^2-(k+1)^2-1=0③
由交点唯一得△=(k+1)^2+4k=0
解得k=-3±2√2
所以,直线为y=-3±2√2(x-1)-1
为什么只有两条直线?明明x=1和y=-1也满足条件啊!
分析：①是用点斜式描述直线,所以漏掉了当直线斜率不存在即与y轴平行的情况.
③用判别式法的必要条件是k≠0,所以漏掉了k=0,即与x轴平行的情况.
解决：必须分直线与渐进线平行和相切（用判别式法）情况分别讨论.
说明：这说明不同的直线形式都有缺点,本题如果引进一般形式,设直线方程为ax+by+c=0（ab不同时为0）则就不会遗漏了.分b=0和b≠0两种情况,b≠0时再分a=0和a≠0讨论.结果与上面一致.
思考,思考,再思考,学习才能进步啊!