题目

已知过椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,过右焦点F且斜为k（k>0)的直线与C相交于A、B两点
若向量AF=3向量FB,则k=

提问时间：2020-07-27

答案

∵e=√3/2,设椭圆方程为x²/a²+4y²/a²=1.①
设直线方程为y=k(x-c).②
联立①、②得：(1+4k²)x²-8k²cx+4k²c²-a²=0.③
根据椭圆第二定义
|AF|/(a²/c-xA)=e, |BF|/(a²/c-xB)=e
|AF|=3|BF|,得3xB-xA=2a²/c.④
又由定比分点公式得4c=xA+3xB.⑤
由④、⑤解得xA=2c-a²/c xB=2c/3+a²/3c
∴xA+xB=8c/3-2a²/3c.⑥
又由③可得xA+xB=8k²c/(1+4k²).⑦
得到k关于e的一元二次方程：（8e²-2)(1+4k²)=24k²e²
e²=3/4,解得k=±√2
又k＞0,∴k=√2