题目
椭圆的焦点为F1、F2，椭圆上存在点P，使∠F1PF2=120°则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A. [
，1)
A. [
| 1 |
| 2 |
提问时间：2020-07-26
答案
设，P（x1，y1），F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，
则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1．
在△PF1F2中，由余弦定理得 cos120°＝−
＝
，
解得 x12＝
．
∵x12∈（0，a2]，
∴0≤
＜a2，
即4c2-3a2≥0．且e2＜1
∴e＝
≥
则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1．
在△PF1F2中，由余弦定理得 cos120°＝−
| 1 |
| 2 |
| (a+ex1)2+(a−ex1)2−4c2 |
| 2(a+ex1)(a−ex1) |
解得 x12＝
| 4c2−3a2 |
| e2 |
∵x12∈（0，a2]，
∴0≤
| 4c2−3a2 |
| e2 |
即4c2-3a2≥0．且e2＜1
∴e＝
| c |
| a |